Joseph Alessi werd geboren in Detroit, Michigan, hij studeerde aan het Curtis Institute of Music in Philadelphia, waar hij tot 1980 studeerde.
Tijdens zijn derde jaar bij Curtis trad Alessi toe tot het Philadelphia Orchestra als interim tweede trombone; later kreeg hij de baan definitief en trad hij vier seizoenen op met het orkest. Na één seizoen als solotrombone bij het Montreal Symphony Orchestra, trad Alessi in het voorjaar van 1985 toe tot de New York Philharmonic als solotrombonist.
Alessi was meerdere malen solist bij de New York Philharmonic: in 1990 -Fantasy for Trombone van Paul Creston vertolkte. In 1992-de wereldpremière van het Tromboneconcert van Christopher Rouse, dat later in 1993 de Pulitzerprijs voor Muziek ontving.
Alessi heeft sindsdien een steeds actievere solocarrière ontwikkeld en treedt op in de Verenigde Staten en internationaal. Zijn discografie bestaat uit meer dan 14 volledige albums, naast gastoptredens op albums van andere artiesten. De New York Philharmonic heeft opnames uitgebracht van het Rouse Concerto en de Colorado Symphony, met Alessi als solist. Zijn opname van Star-Child uit 1999 van George Crumb werd tijdens de 43e Grammy Awards van 2001 verkozen tot Beste Klassieke Hedendaagse Compositie.
Alessi trad in 1986 toe tot de faculteit van de Juilliard School, kort nadat hij bij de New York Philharmonic kwam. De trombonestudio van Juilliard heeft sindsdien de internationale reputatie alleen nog maar vergroot, en het Juilliard Trombone Choir heeft regelmatig met Alessi opgetreden tijdens zijn opnameprojecten. Sinds 1999 leidt Alessi het Alessi Seminar; een tweejaarlijkse tromboneworkshop die trombonisten van over de hele wereld aantrekt voor lessen, masterclasses en recitals. Verschillende van zijn oud-studenten bekleden nu hogere posities in grote orkesten over de hele wereld.
Als erkenning voor Alessi’s immense bijdragen aan de trombonegemeenschap ontving hij in 2002 de ITA Award, de meest prestigieuze prijs die wordt uitgereikt door de International Trombone Association.
